已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|=2，点（1，32）在该椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为1且过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|．

Question

已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，(3)/(2)）在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为1且过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

（1）设椭圆的方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），
由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴2a=√((1+1)2+((3)/(2))2)+√((1−1)2+((3)/(2))2)=4．
∴a=2，又c=1，b²=4-1=3，
故椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（2）斜率为1且过F₁的直线l的方程为：y=x+1，
代入椭圆方程3x²+4（x+1）²=12，
整理可得7x²+8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-(8)/(7)，x₁x₂=-(8)/(7)，
∴|x₁-x₂|=√((64)/(49)+(32)/(7))=(12√(2))/(7)，
∴|AB|=

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