第一型曲线积分问题,求∫xyds,ds是x^2+y^2+z^2=a^2与x+y+z=0在第一卦限的部分打错了x+y+z=a(a>0)

Question

第一型曲线积分问题,求∫xyds,ds是x^2+y^2+z^2=a^2与x+y+z=0在第一卦限的部分
打错了x+y+z=a(a>0)

Answer 1

第一象限里,xy+yz+zx>0,所以(x+y+z)^2=(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)>(x^2+y^2+z^2)=a^2,所以x+y+z>a,所以都满足x+y+z>a,所以实际上就是求xydS在整个第一象限里的值.
dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ
xydS=a^2*sinθcosφ*sinθsinφ*a^2*sinθdθdφ=a^4*(sinθ)^3*(cosφsinφ)dθdφ.
然后θ从0到pi/2积分,φ从0到pi/2积分,不难.
(sinθ)^3原函数是1/12*(cos(3θ)-9cosθ),积分是2/3.
cosφsinφ原函数是-1/2*cosφ*cosφ,积分是1/2.
所以结果是1/3*a^4.