已知点P是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，且PF1•PF2=0，线段PF2的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为（）A.2B.3C.2D.5

Question

已知点P是双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F₁，F₂是双曲线的左右两个焦点，且

PF1

•

PF2

=0，线段PF₂的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为（　　）
A. √(2)
B. √(3)
C. 2
D. √(5)

Answer 1

在三角形F₁F₂P中，点N恰好平分线段PF₂，点O恰好平分线段F₁F₂，
∴ON∥PF₁，又ON的斜率为(b)/(a)，
∴tan∠PF₁F₂=(b)/(a)，
在三角形F₁F₂P中，设PF₂=bt．PF₁=at，
根据双曲线的定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，②
由①②消去t，得(a2+b2)•(4a2)/((b−a)2)＝4c2，
又c²=a²+b²，
∴a²=（b-a）²，即b=2a，
∴双曲线的离心率是(c)/(a)=√(5)，
故选：D．