在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=acosty=1+asint（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=acost

y=1+asint

（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C₁是哪一种曲线，并将C₁的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C₃的极坐标方程为θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a．

Answer 1

（Ⅰ）由

x=acost

y=1+asint

，得

x=acost

y-1=asint

，两式平方相加得，x²+（y-1）²=a²．
∴C₁为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．
化为一般式：x²+y²-2y+1-a²=0．①
由x²+y²=ρ²，y=ρsinθ，得ρ²-2ρsinθ+1-a²=0；
（Ⅱ）C₂：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ²=4ρcosθ，
∴x²+y²=4x，②
即（x-2）²+y²=4．
由C₃：θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，得y=2x，
∵曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，
∴y=2x为圆C₁与C₂的公共弦所在直线方程，
①-②得：4x-2y+1-a²=0，即为C₃ ，
∴1-a²=0，
∴a=1（a>0）．