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如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形,点O是侧面ACC1A1的中心,∠ACB=π2,M是棱BC的中点.(1)求证:OM∥平面ABB1A1;(2)求证:平面ABC1⊥平面A1BC.
题目详情
如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形,点O是侧面ACC1A1的中心,∠ACB=
,M是棱BC的中点.
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(1)求证:OM∥平面ABB1A1;
(2)求证:平面ABC1⊥平面A1BC.
π |
2 |
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(1)求证:OM∥平面ABB1A1;
(2)求证:平面ABC1⊥平面A1BC.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)在△A1BC中,因为O是A1C的中点,M是BC的中点,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2019-04/14/1555256916-1106.jpg)
所以OM∥A1B,…(4分)
又OM⊄平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,
所以OM∥平面ABB1A1.…(6分)
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC,
又∠ACB=
,即BC⊥AC,而CC1,AC⊂面ACC1A1,且CC1∩AC=C,
所以BC⊥面ACC1A1,…(8分)
而AC1⊂面ACC1A1,所以BC⊥AC1,
又ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1,而BC,A1C⊂面A1BC,且BC∩A1C=C,
所以AC1⊥面A1BC,…(12分)
又AC1⊂面ABC1,所以面ABC1⊥面A1BC.…(14分)
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所以OM∥A1B,…(4分)
又OM⊄平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,
所以OM∥平面ABB1A1.…(6分)
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC,
又∠ACB=
π |
2 |
所以BC⊥面ACC1A1,…(8分)
而AC1⊂面ACC1A1,所以BC⊥AC1,
又ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1,而BC,A1C⊂面A1BC,且BC∩A1C=C,
所以AC1⊥面A1BC,…(12分)
又AC1⊂面ABC1,所以面ABC1⊥面A1BC.…(14分)
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