如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB=π2，M是棱BC的中点．（1）求证：OM∥平面ABB1A1；（2）求证：平面ABC1⊥平面A1BC．

Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ACC₁A₁是正方形，点O是侧面ACC₁A₁的中心，∠ACB=(π)/(2)，M是棱BC的中点．

（1）求证：OM∥平面ABB₁A₁；
（2）求证：平面ABC₁⊥平面A₁BC．

Answer 1

证明：（1）在△A₁BC中，因为O是A₁C的中点，M是BC的中点，
所以OM∥A₁B，…（4分）
又OM⊄平面ABB₁A₁，A₁B⊂平面ABB₁A₁，
所以OM∥平面ABB₁A₁．…（6分）
（2）因为ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥底面ABC，所以CC₁⊥BC，
又∠ACB=(π)/(2)，即BC⊥AC，而CC₁，AC⊂面ACC₁A₁，且CC₁∩AC=C，
所以BC⊥面ACC₁A₁，…（8分）
而AC₁⊂面ACC₁A₁，所以BC⊥AC₁，
又ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁，而BC，A₁C⊂面A₁BC，且BC∩A₁C=C，
所以AC₁⊥面A₁BC，…（12分）
又AC₁⊂面ABC₁，所以面ABC₁⊥面A₁BC．…（14分）