已知数列{an}是等比数列，并且a1，a2+1，a3是公差为-3的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=a2n，记Sn为数列{bn}的前n项和，证明：Sn<163．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，并且a₁，a₂+1，a₃是公差为-3的等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_2n，记S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：Sn<(16)/(3)．

Answer 1

（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₁，a₂+1，a₃是公差为-3的等差数列，
∴

a2+1=a1-3

a3=(a2+1)-3

，
即

a1q-a1=-4

a1q2-a1q=-2

，
解得a1=8， q=(1)/(2)．
∴an=a1qn-1=8×((1)/(2))n-1=24-n．  
（Ⅱ）证明：∵(bn+1)/(bn)=(a2n+2)/(a2n)=(1)/(4)，
∴数列{b_n}是以b₁=a₂=4为首项，(1)/(4)为公比的等比数列．
∴Sn=(4[1-((1)/(4))n])/(1-(1)/(4))=(16)/(3)[1-((1)/(4))n]<(16)/(3)．