设（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，求（a0+a2+…+a10）2（a1+a3+…+a9）2的值．

Question

设（

2

-x） ¹⁰ =a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +…+a ₁₀ x ¹⁰ ，求（a ₀ +a ₂ +…+a ₁₀ ） ² （a ₁ +a ₃ +…+a ₉ ） ² 的值．

Answer 1

令x=1可得：a ₀ +a ₁ +a ₂ +…+a ₁₀ = (

2

-1) 10 ，再令x=-1可得 a ₀ -a ₁ +a ₂ -a ₃ +…+a ₈ -a ₉ +a ₁₀ = (

2

+1) 10 ．
由以上两式可得 a ₀ +a ₂ +…+a ₁₀ = ((2-1)10 + (2+1)10)/(2) ，a ₁ +a ₃ +…+a ₉ = ((2-1)10 - (2+1)10)/(2) ，
∴（a ₀ +a ₂ +…+a ₁₀ ） ² = ((2-1)20 + (2+1)20 +2)/(4) ，（a ₁ +a ₃ …+a ₉ ） ² = ((2-1)20 + (2+1)20 -2)/(4) ，
∴（a ₀ +a ₂ +…+a ₁₀ ） ² （a ₁ +a ₃ +…+a ₉ ） ² = ((2-1)20 + (2+1)20 +2)/(4) - ((2-1)20 + (2+1)20 -2)/(4) =1．