如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）求证：平面AEF⊥平面AA1B1B；（3）若A1A=2AB=2BC=2a，求三棱锥F-ABC的体积．

Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A₁B，AC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）求证：平面AEF⊥平面AA₁B₁B；
（3）若A₁A=2AB=2BC=2a，求三棱锥F-ABC的体积．

Answer 1

（1）证明：连结A₁C．
∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AA₁C₁C是矩形，
∴点F在A₁C上，且为A₁C的中点．
在△A₁BC中，∵E，F分别是A₁B，A₁C的中点，∴EF∥BC．  …（2分）
又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．   …（4分）
（2）证明∵直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，B₁B⊥平面ABC，∴B₁B⊥BC．
∵EF∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥EF，B₁B⊥EF．  …（6分）
∵B₁B∩AB=B，∴EF⊥平面ABB₁A₁．          …（8分）
∵EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABB₁A₁．  …（10分）
（3）V_E-ABC=(1)/(2)VA1−ABC=(1)/(2)×(1)/(2)×S△ABC×AA1=(1)/(2)×(1)/(3)×(1)/(2)a2×2a＝(a3)/(6)  …（14分）