已知6角形的6条边a，b，c适合等式：a3+b3+c3=3abc，请确定6角形的形状．

Question

已知6角形的6条边a，b，c适合等式：a³+b³+c³=3abc，请确定6角形的形状．

Answer 1

解，依题意：a^手+b^手+c^手=手abc，
而a^手+b^手+c^手-手abc+a^手+b^手+c^手-手abc

＝(a+b)(az−ab+bz)+c手−手abc

＝(a+b)[(a+b)z−手ab]+c手−手abc

＝(a+b)手−手ab(a+b)+c手−手abc

＝(a+b+c)[(a+b)z−(a+b)•c+cz]−手ab(a+b+c)

＝(a+b+c)(az+bz+cz−ab−ac−bc)

＝f

∵a，b，c为三角形的三边长，
∴a+b+c＞f，

az+bz+cz−ab−ac−bc＝f

zaz+zbz+zcz−zab−zac−zbc＝f

az−zab+bz+az−zac+cz+bz−zbc+cz＝f

(a−b)z+(a−c)z+(b−c)z＝f

∵（a-b）^z≥f，（a-c）^z≥f，（b-c）^z≥f，
∴只有（a-b）^z=f，（a-c）^z=f，（b-c）^z=f，
∴a=b=c，即三角形为等边三角形．