如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD=2AA1=2．（1）求证：直线C1D⊥平面ACD1；（2）试求三棱锥A1-ACD1的体积．

Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD=√(2)AA₁=2．
（1）求证：直线C₁D⊥平面ACD₁；
（2）试求三棱锥A₁-ACD₁的体积．

Answer 1

（1）证明：在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，
则由底面四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，
以及AD＝√(2)AA1＝2可得：CE=1，且AC＝CD＝√(2)＝AA1＝CC1，AC⊥CD．
又由题意知CC₁⊥面ABCD，从而AC⊥CC₁，而CC₁∩CD=C，
故AC⊥C₁D．
因CD=CC₁，及已知可得CDD₁C₁是正方形，从而C₁D⊥CD₁．
因C₁D⊥CD₁，C₁D⊥AC，且AC∩CD₁=C，
所以C₁D⊥面ACD₁．（6分）
（2）因三棱锥A₁-ACD₁与三棱锥C-AA₁D₁是相同的，故只需求三棱锥C-AA₁D₁的体积即可，而CE⊥AD，
且由AA₁⊥面ABCD可得CE⊥AA₁，又因为AD∩AA₁=A，
所以有CE⊥平面ADD₁A₁，即CE为三棱锥C-AA₁D₁的高．
故VC−AA1D1＝(1)/(3)×(1)/(2)•AA1•A1D1•CE＝(1)/(3)×(1)/(2)×√(2)×2×1＝(√(2))/(3)．（12分）