已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中项．（1）设cn=b2n+1-b2n，n∈N+，求证：数列{cn}是等差数列；（2）设a1=d，Tn=2nk=1（-1）kbk2，n∈N*，求证：ni

Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N⁺，b_n是a_n和a_n+1的等比中项．
（1）设c_n=b

2

n+1

-b

2

n

，n∈N⁺，求证：数列{c_n}是等差数列；
（2）设a₁=d，T_n=

2n

k=1

（-1）^kb_k²，n∈N^*，求证：

n

i=1

(1)/(Tk)<(1)/(2d2)．

Answer 1

证明：（1）∵{a_n}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N⁺，b_n是a_n和a_n+1的等比中项．
∴c_n=b

2

n+1

-b

2

n

=a_n+1a_n+2-a_na_n+1=2da_n+1，
∴c_n+1-c_n=2d（a_n+2-a_n+1）=2d²为定值；
∴数列{c_n}是等差数列；
（2）T_n=

2n

k=1

（-1）^kb_k²=（-b₁²+b₂²）+（-b₃²+b₄²）+…+（-b_2n-1²+b_2n²）=2d（a₂+a₄+…+a_2n）=2d•(n(a2+a2n))/(2)
=2d²n（n+1），
∴

n

i=1

(1)/(Tk)=(1)/(2d2)

n

k=1

(1)/(k(k+1))=(1)/(2d2)（1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+…+(1)/(n)-(1)/(n+1)）=(1)/(2d2)（1-(1)/(n+1)）<(1)/(2d2)．
即不等式

n

i=1

(1)/(Tk)<(1)/(2d2)成立．