设函数f（x）=x2-bx+alnx．（Ⅰ）若b=2，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x2）>-3+2ln24；（Ⅲ）若对任意b∈[1，2]，都存

Question

设函数f（x）=x²-bx+alnx．
（Ⅰ） 若b=2，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁<x₂，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x₂）>-(3+2ln2)/(4)；
（Ⅲ） 若对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）<0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，b=2时，f（x）=x²-2x+alnx，f（x）的定义域为（0，+∞），
求导数得：f′（x）=(2x2-2x+a)/(x)，
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，f′（x）=0有两个不同的正根x₁，x₂，
故2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a>0，即a<(1)/(2)，
且x₁+x₂=1，x₁•x₂=(a)/(2)>0，所以a的取值范围为（0，(1)/(2)）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1)/(2)<x₂<1且f′（x₂）=0，得a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+（2x₂-2x22）lnx₂，
令F（t）=t²-2t+（2t-2t²）lnt，（(1)/(2)<t<1），
则F（t）=2（1-2t）lnt，
当t∈（(1)/(2)，1）时，F′（t）>0，∴F（t）在（(1)/(2)，1）上是增函数
∴F（t）>F（(1)/(2)）=(-3-2ln2)/(4)，
∴f（x₂）>-(3+2ln2)/(4)；
（Ⅲ）令g（b）=-xb+x²+alnx，b∈[1，2]，
由于x∈（1，e），所以g（b）为关于b的递减的一次函数，
根据题意，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e为自然对数的底数），使得f（x）<0成立，
则x∈（1，e）上g（b）_max=g（1）=-x+x²+alnx<0有解，
令h（x）=-x+x²+alnx，则只需存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）<0即可，
由于h′（x）=(2x2-x+a)/(x)，令ω（x）=2x²-x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x-1>0，
∴ω（x）在（1，e）上单调递增，∴ω（x）>ω（1）=1+a，
①当1+a≥0，即a≥-1时，ω（x）>0，∴h′（x）>0，
∴h（x）在（1，e）上是增函数，∴h（x）>h（1）=0，不符合题意，
②当1+a<0，即a<-1时，ω（1）=1+a<0，ω（e）=2e²-e+a，
（ⅰ）若ω（e）<0，即a≤2e²-e<-1时，在x∈（1，e）上ω（x）>0恒成立
即h′（x）<0恒成立，∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x₀∈（1，e），使得h（x₀）<h（1）=0，符合题意，
（ⅱ）若ω（e）>0，即2e²-e<a<-1时，在（1，e）上存在实数m，使得ω（m）=0，
∴在（1，m）上，ω（x）<0恒成立，即h′（x）<0恒成立
∴h（x）在（1，e）上单调递减，
∴存在x₀∈（1，e），使得h（x₀）<h（1）=0，符合题意，
综上所述，当a<-1时，对任意b∈[1，2]，都存在x∈（，1e）（e为自然对数的底数），使得f（x）<0成立．