已知，如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，OC，以下四个结论：①AD=BE；②三角

Question

已知，如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ，OC，以下四个结论：
①AD=BE；②三角形CPQ是等边三角形；③AD⊥BC；④OC平分∠AOE
其中正确的结论有___（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴180°-∠ECD=180°-∠ACB，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，

AC=BC

∠ACD=∠BCE

CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，故①小题正确；
∵△ACD≌△BCE（已证），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°（已证），
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP与△BCQ中，

∠CAD=∠CBE

AC=BC

∠ACB=∠BCQ=60°

，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∵∠PCQ=180°-60°-60°=60°，
∴△PCQ是等边三角形，故②小题正确；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∴∠AOB=∠DAC+∠CEB=∠DAC+∠ADC=∠DCE=60°，
∵○CBE+∠CEB=∠ACB=60°，而BC≠CE，
∴∠CPB≠30°，
∴∠BPD≠90°，
∴③错误；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△BCE≌△ACD，
∴S_△BCE=S_△ACD，BE=AD，
∴(1)/(2)×BE×CM=(1)/(2)×AD×CN，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故④正确．
故答案为：①②④．