如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：AM⊥CD．

Question

如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，求证：AM⊥CD．

Answer 1

证明：延长AM到F，使MF=AM，交CD于点N，
∵BM=EM，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，∠ABF+∠BAE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAD+∠BAE=180°，
∴∠ABF=∠CAD，
∵BF=AE，AD=AE，
∴BF=AD，
在△ABF和△CAD中，

BF=AD

∠ABF=∠CAD

AB=AC

，
∴△ABF≌△CAD（SAS），
∴∠BAF=∠ACD，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAF+∠CAN=90°，
∴∠ACD+∠CAN=90°，
∴∠ANC=90°，
∴AM⊥CD．