（2014•广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方

Question

（2014•广东）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；
（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．
又∵EF⊥AD，
∴EF为AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF．
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴AD⊥BC，∠B=∠C．
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．

（2）如答图2所示，由（1）知EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴(EF)/(BC)＝(AH)/(AD)，即(EF)/(10)＝(8−2t)/(8)，解得：EF=10-(5)/(2)t．
S_△PEF=(1)/(2)EF•DH=(1)/(2)（10-(5)/(2)t）•2t=-(5)/(2)t²+10t=-(5)/(2)（t-2）²+10
∴当t=2秒时，S_△PEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6．

（3）存在．理由如下：
①若点E为直角顶点，如答图3①所示，
此时PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．
∵PE∥AD，∴(PE)/(AD)＝(BP)/(BD)，即(2t)/(8)＝(3t)/(5)，此比例式不成立，故此种情形不存在；
②若点F为直角顶点，如答图3②所示，
此时PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．
∵PF∥AD，∴(PF)/(AD)＝(CP)/(CD)，即(2t)/(8)＝(10−3t)/(5)，解得t=(40)/(17)；

③若点P为直角顶点，如答图3③所示．
过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．
∵EM∥AD，∴(EM)/(AD)＝(BM)/(BD)，即(2t)/(8)＝(BM)/(5)，解得BM=(5)/(4)t，
∴PM=BP-BM=3t-(5)/(4)t=(7)/(4)t．
在Rt△EMP中，由勾股定理得：PE²=EM²+PM²=（2t）²+（(7)/(4)t）²=(113)/(16)t²

作业帮用户 2017-10-11