如图，在三棱柱中ABC-DEF，点P，G分别是AD，EF的中点，已知AD⊥平面ABC，AD=EF=3，DE=DF=2．（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCEF；（Ⅱ）求PE与平面BCEF所成角的正弦值．

Question

如图，在三棱柱中ABC-DEF，点P，G分别是AD，EF的中点，已知AD⊥平面ABC，AD=EF=3，DE=DF=2．

（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求PE与平面BCEF 所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABC，∴AD⊥DG，
又BF∥AD，∴BF⊥DG．
∵DE=DF，G是EF的中点，∴EF⊥DG．
又BF∩EF=F，∴DG⊥平面BCEF；

（Ⅱ） 取BC的中点H，连接HG，取HG的中点O，连接OP，OE，
∵PO∥DG，∴PO⊥平面BCEF，
∴∠OEP是PE与平面BCEF所成的角．
由AD=EF=3，DE=DF=2，解得PE=(5)/(2)，OP=DG=(√(7))/(2)，
∴sin∠OEP=(OP)/(PE)=(√(7))/(5)．