（2014•雅安三模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；（

Question

（2014•雅安三模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
又BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=(π)/(4)，
∴∠DCA=∠BAC=(π)/(4)，
又AC⊥AD，
故△DAC为等腰直角三角形，
∴DC=√(2)AC=√(2)（√(2)AB）=2AB．
连接BD，交AC于点M，则(DM)/(MB)=(DC)/(AB)=2．
连接EM，在△BPD中，(PE)/(EB)=(DM)/(MB)=2，∴PD∥EM，
又PD⊂/平面EAC，EM⊂平面EAC，
∴PD∥平面EAC．…（8分）
（Ⅲ）以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

设

n1

=（x，y，1）为平面AEC的一个法向量，则

n1

⊥

作业帮用户 2017-11-07

问题解析

（Ⅰ）根据PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，结合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根据面面垂直的判定定理，可证出平面PAB⊥平面PCB．
（Ⅱ）利用线面垂直的性质，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根据题中数据结合平行线分线段成比例，算出DC=2AB，从而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出平面AEC、平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题给出底面是直角梯形的四棱锥，求证线面平行和面面垂直，着重考查了空间线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质和面面垂直的判定，考查面面角等知识，属于中档题．

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