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如图,扇形AOD中,∠AOD=90°,OA=6,点P为AD上任意一点(不与点A和D重合),PQ⊥OD于点Q,点I为△OPQ的内心,过O、I和D三点的圆的半径为r,则当点P在AD上运动时,求r的值.
题目详情
如图,扇形AOD中,∠AOD=90°,OA=6,点P为
上任意一点(不与点A和D重合),
PQ⊥OD于点Q,点I为△OPQ的内心,过O、I和D三点的圆的半径为r,则当点P在
上运动时,求r的值.
AD |
PQ⊥OD于点Q,点I为△OPQ的内心,过O、I和D三点的圆的半径为r,则当点P在
AD |
▼优质解答
答案和解析
如图,连OI,PI,DI,
∵△OPH的内心为I,
∴∠IOP=∠IOD,∠IPO=∠IPH,
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-
(∠HOP+∠OPH),
而PH⊥OD,即∠PHO=90°,
∴∠PIO=180°-
(∠HOP+∠OPH)=180°-
(180°-90°)=135°,
在△OPI和△ODI中,
,
∴△OPI≌△ODI(SAS),
∴∠DIO=∠PIO=135°,
所以点I在以OD为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;
过D、I、O三点作⊙O′,如图,连O′D,O′O,
在优弧DO取点P′,连P′D,P′O,
∵∠DIO=135°,
∴∠DP′O=180°-135°=45°,
∴∠DO′O=90°,而OD=6,
∴OO′=DO′=3
,
∴r的值为3
.
故选:D.
∵△OPH的内心为I,
∴∠IOP=∠IOD,∠IPO=∠IPH,
∴∠PIO=180°-∠IPO-∠IOP=180°-
1 |
2 |
而PH⊥OD,即∠PHO=90°,
∴∠PIO=180°-
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2 |
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在△OPI和△ODI中,
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∴△OPI≌△ODI(SAS),
∴∠DIO=∠PIO=135°,
所以点I在以OD为弦,并且所对的圆周角为135°的一段劣弧上;
过D、I、O三点作⊙O′,如图,连O′D,O′O,
在优弧DO取点P′,连P′D,P′O,
∵∠DIO=135°,
∴∠DP′O=180°-135°=45°,
∴∠DO′O=90°,而OD=6,
∴OO′=DO′=3
2 |
∴r的值为3
2 |
故选:D.
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