如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：∠BAC=∠CBP；（2）求证：PB2=PC•PA；（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．

Question

如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．

（1）求证：∠BAC=∠CBP；
（2）求证：PB²=PC•PA；
（3）当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．

Answer 1

（1）∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，
∴∠ACB=∠ABP=90°，
∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90°，
∴∠BAC=∠CBP；

（2）∵∠PCB=∠ABP=90°，
∠P=∠P，
∴△ABP∽△BCP，
∴(PB)/(AP)=(PC)/(PB)，
∴PB²=PC•PA；

（3）∵PB²=PC•PA，AC=6，CP=3，
∴PB²=9×3=27，
∴PB=3√(3)，
∴sin∠PAB=(PB)/(AP)=(3√(3))/(9)=(√(3))/(3)．