如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA；（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

Question

如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．

（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：∵O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AD=CD，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴四边形OADC为菱形，
∴BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，
而∠1=∠5，
∴OA=OC，∠2=∠3，
∴OB=OC，
∴点O为△ABC的外心，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，
∵四边形OADC为平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA，
∴AD=OB，
在△BOC和△CDA中

OB=DC

∠BOC=∠ADC

OC=DA

，
∴△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠BOH=(1)/(2)（180°-120°）=30°，
∵OH⊥AB，
∴BH=AH=(1)/(2)AB=1，
OH=(√(3))/(3)BH=(√(3))/(3)，
OB=2OH=(2√(3))/(3)，
∴S_阴影部分=S_扇形AOB-S_△AOB
=(120•π•((2√(3))/(3))2)/(360)-(1)/(2)×2×(√(3))/(3)
=(4π-3√(3))/(9)．