在数列an中,已知a1=1,an=3an-1+2^n,求an（注意是2^n不是2)

Question

在数列an中,已知a1=1,an=3an-1+2^n,求an （注意是2^n不是2)

Answer 1

n≥2时,
an=3a(n-1)+2ⁿ
an+2^(n+1)=3a(n-1) +3×2ⁿ=3[a(n-1)+2ⁿ]
[an+2^(n+1)]/[a(n-1)+2ⁿ]=3,为定值.
a1+2²=1+4=5
数列{an+2^(n+1)}是以5为首项,3为公比的等比数列.
an+2^(n+1)=5×3^(n-1)
an=5×3^(n-1) -2^(n+1)
n=1时,a1=5×1-4=1,同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=5×3^(n-1)-2^(n+1).