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已知椭圆的离心率，分别为椭圆的长轴和短轴的端点，为中点，为坐标原点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积最大时，直线的方程.
题目详情
| 已知椭圆  的离心率 ， 分别为椭圆的长轴和短轴的端点， 为 中点， 为坐标原点，且 .（1）求椭圆的方程； （2）过点  的直线 交椭圆于 两点，求 面积最大时，直线 的方程. |
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答案和解析
| 已知椭圆  的离心率 ， 分别为椭圆的长轴和短轴的端点， 为 中点， 为坐标原点，且 .（1）求椭圆的方程； （2）过点  的直线 交椭圆于 两点，求 面积最大时，直线 的方程. |
| （1）  ；（2）直线 的方程为 . |
| 试题分析：（1）利用椭圆的性质，弦长可得  ， ，由此可求 ，故椭圆的方程为 ；（2）根据直线与椭圆的位置关系，设直线 的方程为 ，联立方程得 ，所以可写出  设  ，则 ，则 ，其中 ，易证 单调减，当 时， 的最大值为 .所以 ，此时 ，直线 的方程为 .（1）∵ ∴ ① 2分 ∴ ②，∴由①②得 ∴椭圆的方程为 4分（2）设直线 的方程为 由  7分   设 ，则 则 ，其中 易证
作业帮用户
2017-09-18
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