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(2010•拱墅区一模)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.动点P、Q分别在线段BC和MC上运动(不与端点重合),且∠MPQ=60°保持不变.以下四个结论:①

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(2010•拱墅区一模)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.动点P、Q分别在线段BC和MC上运动(不与端点重合),且∠MPQ=60°保持不变.以下四个结论:①梯形ABCD是等腰梯形;②△BMP∽△CPQ;③△MPQ是等边三角形;④设PC=x,MQ=y,则y关于x的函数解析式是二次函数.
(1)判断其中正确的结论是哪几个?
(2)从你认为是正确的结论中选一个加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)①∵△MBC是等边三角形,
∴MB=MC,∠MBC=∠MCB=60°,
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC,∠DMC=∠MCB,
∴∠AMB=∠DMC,
∵AM=DM,
∴△AMB≌△DMC,
∴AB=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形.故①正确;
②∵∠1+∠MPB=120°,∠2+∠MPB=180°-∠MPQ=120°,
∴∠1=∠2,
∵∠MBP=∠MPQ=60°,
∴△BMP∽△CPQ.故②正确;
③∵MP不一定等于PQ,
∴△MPQ不一定是等边三角形.故③错误;
④∵△BMP∽△CPQ,
MB
PC
BP
CQ

∵BC=4,
∴MB=MC=4,
∵PC=x,MQ=y,则BP=4-x,CQ=4-y,
4
x
4−x
4−y

∴y=
1
4
x2-x+4,故④正确.
∴正确的是①②④;
(2)选①的证明:
思路:证明△ABM≌△DCM(SAS);
∴AB=DC,
∴ABCD是等腰梯形;
选②的证明:∠MBP=∠PCQ=60°,∠1+60°=∠2+60°(外角),
∴∠1=∠2,
∴△BMP∽△CPQ;
选④的证明:先证明相似,过程同②:△BMP∽△CPQ,
PC
BM
CQ
BP

x
4
4−y
4−x

∴y=
1
4
x2-x+4.