在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若OP=xOA+yOB，则终点P落在四边

Question

在△OMN中，点A在OM上，点B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若

OP

=x

OA

+y

OB

，则终点P落在四边形ABNM内（含边界）时， (y+x+2)/(x+1)的取值范围为___．

Answer 1

∵AB∥MN，2OA=OM，
∴AB是△OMN的中位线．
∴当P在线段AB上时，x+y=1，当P在线段MN上时，x+y=2，
∵终点P落在四边形ABNM内（含边界），
∴

x≥0

y≥0

1≤x+y≤2

．
作出平面区域如图所示：

令k=(y+1)/(x+1)，则k表示平面区域内的点C（x，y）与点Q（-1，-1）的连线的斜率，
由可行域可知当（x，y）与B（2，0）重合时，k取得最小值(1)/(2+1)=(1)/(3)，
当（x，y）与A（0，2）重合时，k取得最大值(2+1)/(1)=3，
∴(1)/(3)≤k≤3．
∵(y+x+2)/(x+1)=(y+1)/(x+1)+1=k+1，
∴(4)/(3)≤(y+x+2)/(x+1)≤4．
故答案为[(4)/(3)，4]．