用拉格朗日中值定理解这个题若a>0,b>0,证明：alna+blnb>=(a+b)ln(a+b)/2

Question

用拉格朗日中值定理解这个题
若a>0,b>0,证明：alna+blnb>=(a+b)ln(a+b)/2

Answer 1

令f（x）=xlnx,f‘（x）=1+lnx单调增
要证alna+blnb>=(a+b)ln(a+b)/2
即证f（a）+f（b）≥2f（(a+b)/2)
当a=b时等号成立
当a＞b＞0时
即证f（a）-f（（a+b）/2）＞f（（a+b）/2）-f（b）
即证[f（a）-f（（a+b）/2）]/[（a-b）/2]＞[f（（a+b）/2）-f（b）]/[（a-b）/2]
在（（a+b）/2,a）内存在ζ,使得f'（ζ）=[f（a）-f（（a+b）/2）]/[（a-b）/2]
在（b,（a+b）/2）内存在η,使得f'（η）=[f（（a+b）/2）-f（b）]/[（a-b）/2]
因为f'（x）为增函数,于是f'（ζ）＞f'（η）
即f（a）+f（b）＞2f（(a+b)/2)
a＜b时交换ab位置即可
得alna+blnb>=(a+b)ln(a+b)/2成立