如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．

Question

如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．

（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB=AD，AC=3√(2)，tan∠ADC=3，求BE的长．

Answer 1

（1）证明：
连接OA、OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=45°+45°=90°，
∴OA⊥AE，
∵OA为半径，
∴AE是⊙O的切线；


（2） 过A作AF⊥CD于F，则∠AFC=∠AFD=90°，

∵AB=AD，
∴

AB

=

AD

，
∴∠ACD=∠ACB=45°，
∵在Rt△AFC中，AC=3√(2)，∠ACF=45°，
∴AF=FC=AC•sin∠ACF=3，
∵在Rt△AFD中，tan∠ADC=(AF)/(DF)=3，
∴DF=1，
∴AB=AD=√(32+12)=√(10)，且CD=CF+DF=4，
∵四边形ABCD内接⊙O，
∴∠ABE=∠CDA，
∵∠BAE=∠DCA，
∴△ABE∽△CDA，
∴(BE)/(DA)=(AB)/(CD)，
∴(BE)/(√(10))=(√(10))/(4)，
∴BE=(5)/(2)．