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如图,四边形ABCD边长为a的正方形,点E在CD上,DE=b,AE=c,延长CB至点F,使BF=b,连接AF,试利用此图证明勾股定理.
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如图,四边形ABCD边长为a的正方形,点E在CD上,DE=b,AE=c,延长CB至点F,使BF=b,连接AF,试利用此图证明勾股定理.
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▼优质解答
答案和解析
证明:过E作AE的垂线,过F作AF的垂线,两垂线交于点G,设EG与CF交于点H.
在△ADE与△ABF中,
,
∴△ADE≌△ABF(SAS),
∴AE=AF=c,∠DAE=∠BAF,
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=∠DAB=90°,
∵∠AEG=∠AFG=∠EAF=90°,
∴四边形AEGF是矩形,
∵AE=AF=c,
∴矩形AEGF是正方形,
∴GF=c,∠G=90°.
在△FGH与△ABF中,
,
∴△FGH∽△ABF,
∴
=
=
,即
=
=
,
∴GH=
,FH=
,
∴CH=BC+BF-FH=a+b-
.
∵S正方形AEGF+S△ADE+S△ECH=S正方形ABCD+S△ABF+S△FGH,S△ADE=S△ABF,
∴S正方形AEGF+S△ECH=S正方形ABCD+S△FGH,
即c2+
(a-b)(a+b-
)=a2+
•
•c,
整理得c2=a2+b2.
在△ADE与△ABF中,
|
∴△ADE≌△ABF(SAS),
∴AE=AF=c,∠DAE=∠BAF,
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=∠DAB=90°,
∵∠AEG=∠AFG=∠EAF=90°,
∴四边形AEGF是矩形,
∵AE=AF=c,
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∴GF=c,∠G=90°.
在△FGH与△ABF中,
|
∴△FGH∽△ABF,
∴
FG |
AB |
GH |
BF |
FH |
AF |
c |
a |
GH |
b |
FH |
c |
∴GH=
bc |
a |
c2 |
a |
∴CH=BC+BF-FH=a+b-
c2 |
a |
∵S正方形AEGF+S△ADE+S△ECH=S正方形ABCD+S△ABF+S△FGH,S△ADE=S△ABF,
∴S正方形AEGF+S△ECH=S正方形ABCD+S△FGH,
即c2+
1 |
2 |
c2 |
a |
1 |
2 |
bc |
a |
整理得c2=a2+b2.
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