如图，四边形ABCD边长为a的正方形，点E在CD上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF，试利用此图证明勾股定理．

Question

如图，四边形ABCD边长为a的正方形，点E在CD上，DE=b，AE=c，延长CB至点F，使BF=b，连接AF，试利用此图证明勾股定理．

Answer 1

证明：过E作AE的垂线，过F作AF的垂线，两垂线交于点G，设EG与CF交于点H．
在△ADE与△ABF中，

AD=AB=a

∠D=∠ABF=90°

DE=BF=b

，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE=AF=c，∠DAE=∠BAF，
∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=∠DAB=90°，
∵∠AEG=∠AFG=∠EAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE=AF=c，
∴矩形AEGF是正方形，
∴GF=c，∠G=90°．
在△FGH与△ABF中，

∠G=∠ABF=90°

∠GFH=∠BAF=90°-∠AFB

，
∴△FGH∽△ABF，
∴(FG)/(AB)=(GH)/(BF)=(FH)/(AF)，即(c)/(a)=(GH)/(b)=(FH)/(c)，
∴GH=(bc)/(a)，FH=(c2)/(a)，
∴CH=BC+BF-FH=a+b-(c2)/(a)．
∵S_{正方形AEGF}+S_△ADE+S_△ECH=S_{正方形ABCD}+S_△ABF+S_△FGH，S_△ADE=S_△ABF，
∴S_{正方形AEGF}+S_△ECH=S_{正方形ABCD}+S_△FGH，
即c²+(1)/(2)（a-b）（a+b-(c2)/(a)）=a²+(1)/(2)•(bc)/(a)•c，
整理得c²=a²+b²．