如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边三角形ACE，BE分别与AD、AC交于点F、G，连接CF．（1）求证：∠FBD=∠FCD；（2）若AF=3，DF=1，求EF的值．

Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，以AC为边向外作等边三角形ACE，BE分别与AD、AC交于点F、G，连接CF．

（1）求证：∠FBD=∠FCD；
（2）若AF=3，DF=1，求EF的值．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBD=∠FCD；
（2）过A作AH⊥BE于H点，如图，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，BH=EH，
∴∠ABF=∠ACF，
∵△ACE为等边三角形，
∴AC=AE，∠EAC=60°，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ACF=∠AEG，
∴∠GFC=∠EAG=60°，
而∠GFC=∠FBC+∠FCD，
∴∠FBC=30°，
∴BF=2FD=2，BD=√(3)FD=√(3)，
设FH=x，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=16+3=19，
在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²=AH²+（x+2）²，
在Rt△AFH中，AH²=AF²-FH²=9-x²，
∴19=9-x²+（x+2）²，解得x=(3)/(2)，
∴BH=BF+FH=2+(3)/(2)=3.5，
∴BE=2BH=7，
∴EF=BE-BF=7-2=5．