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已知△ABC中,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠EAC,BE,CD交于点P.(1)如图1,求证:CD=BE;(2)如图2,∠BAD=60°,设AB,PD交于点F,若∠PAF=30°,PF=1,求D
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已知△ABC中,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE,且∠BAD=∠EAC,BE,CD交于点P.
(1)如图1,求证:CD=BE;
(2)如图2,∠BAD=60°,设AB,PD交于点F,若∠PAF=30°,PF=1,求DF的长.
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(1)如图1,求证:CD=BE;
(2)如图2,∠BAD=60°,设AB,PD交于点F,若∠PAF=30°,PF=1,求DF的长.
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵∠BAD=∠EAC,
∴∠DAC=∠BAE,
在△ACD和△AEB中,
∵
,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE;
(2)在PD上截取PM=PA,连接AM,如图所示:
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由(1)得:△ACD≌△AEB,
∴∠ADC=∠ABE,
∴A、D、B、P四点共圆,
∴∠APD=∠ABD,
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∴∠APD=60°,
∵∠PAF=30°,
∴∠AFP=∠AFD=90°,
在Rt△APF中,AF=APtan∠APF=
,
在Rt△ADF中,DF=AFtan∠DAF=
×
=3.
∴∠DAC=∠BAE,
在△ACD和△AEB中,
∵
|
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE;
(2)在PD上截取PM=PA,连接AM,如图所示:
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由(1)得:△ACD≌△AEB,
∴∠ADC=∠ABE,
∴A、D、B、P四点共圆,
∴∠APD=∠ABD,
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∴∠APD=60°,
∵∠PAF=30°,
∴∠AFP=∠AFD=90°,
在Rt△APF中,AF=APtan∠APF=
3 |
在Rt△ADF中,DF=AFtan∠DAF=
3 |
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