（2014•锦州二模）如图，四棱锥P-ABCD中，△PAB为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD点上一点，满足PE＝12ED（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线P

Question

（2014•锦州二模）如图，四棱锥P-ABCD中，△PAB为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD点上一点，满足

PE

＝(1)/(2)

ED

（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小．

Answer 1

证明：（I）取AB的中点O，连接PO，OC
∵△PAB为边长为2的正三角形，
∴PO⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，

又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC⊂平面POC
∴AB⊥平面POC
又∵OC⊂平面POC
∴AB⊥OC
以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，
则A（-1，0，0），C（0，√(3)，0），P（0，0，√(3)），D（-2，√(3)，0）
∵

PE

＝(1)/(2)

ED

则E（−(2)/(3)，(√(3))/(3)，(2√(3))/(3)）
则

AC

=（1，√(3)，0），

AE

=（(1)/(3)，(√(3))/(3)，(2√(3))/(3)）
设平面ACE的法向量为

n

=（x，y，z）
则由

n

⊥

AC

n

⊥

AE

可得

n

•

AC

＝0

n

•

AE

＝0

即

x+√(3)y＝0

(1)/(3)x+(√(3))/(3)y+(2√(3))/(3)z＝0

令x=1，则

n

=（1，-(√(3))/(3)，0）
取平面ABCD的一个法向量

OP

=（0，0，√(3)），
则

n

•

OP

=0，即

n

⊥

OP

故平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设直线PD与平面ACE所成角的大小为θ．
∵直线PD的方向向量

PD

=（-2，√(3)，-√(3)），平面ACE的法向量

n

=（1，-(√(3))/(3)，0）
∴sinθ=(|PD•n|)/(|PD|•|n|)=(3√(30))/(√(20))
故直线PD与平面ACE所成角正弦值为(3√(30))/(√(20))