（2014•镇江一模）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=AB，D是AB的中点．（1）求证：平面A1DC⊥平面ABC；（2）求证：BC1∥平面A1DC．

Question

（2014•镇江一模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为菱形，且∠A₁AB=60°，AC=AB，D是AB的中点．
（1）求证：平面A₁DC⊥平面ABC；
（2）求证：BC₁∥平面A₁DC．

Answer 1

（1）证明：∵ABB₁A₁为菱形，且∠A₁AB=60°，
∴△A₁AB为正三角形．…（2分）
∵D是AB的中点，∴AB⊥A₁D．                
∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．…（4分）
∵A₁D∩CD=D，∴AB⊥平面A₁DC．…（6分）
∵AB⊂平面ABC，∴平面A₁DC⊥平面ABC．…（8分）
（2）证明：连结C₁A，设AC₁∩A₁C=E，连结DE．
∵三棱柱的侧面AA₁C₁C是平行四边形，∴E为AC₁中点．…（10分）
在△ABC₁中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC₁． …（12分）
∵DE⊂平面A₁DC，BC₁不包含于平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．…（14分）