△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

Question

△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

Answer 1

证明：由题知：C-B=B-A,即：A+C=2B,则A+B+C=3B=180°,得B=60°.
若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c,由余弦定理,得
b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca
欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c).①
于是原题等价于证明①式成立,交叉相乘得：
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理,得
b^2=c^2+a^2-ca,.②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立,就等价证明②式成立.而②式已经由余弦定理证得.
所以由此倒推即得.