设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为33，过点C（-1，0）的直线交椭圆E于A，B两点，且CA=2BC，求当△AOB面积达到最大时的直线和椭圆的方程．

Question

设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为(√(3))/(3)，过点C（-1，0）的直线交椭圆E于A，B两点，且

CA

=2

BC

，求当△AOB面积达到最大时的直线和椭圆的方程．

Answer 1

设直线l：x=ky-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于

CA

=2

BC

，C（-1，0），
则（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
即2y₂+y₁=0，①
由于离心率为(√(3))/(3)，则c²=(1)/(3)a²，则a²=(3)/(2)b²，
则椭圆方程(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，即为：2x²+3y²=3b²，
联立直线l和椭圆方程，消去x，得（2k²+3）y²-4ky+2-3b²=0，
则y₁+y₂=(4k)/(2k2+3)②，y₁y₂=(2−3b2)/(2k2+3)，③
由①②得，y₁=(8k)/(2k2+3)，y₂=(−4k)/(2k2+3)，
由于S_△AOB=(1)/(2)|y₁|+(1)/(2)|y₂|=(1)/(2)|y₁-y₂|=(6|k|)/(2k作业帮用户2017-10-11问题解析设直线l：x=ky-1，A（x1，y1），B（x2，y2），由CA=2BC，C（-1，0），知2y2+y1=0，由直线方程和椭圆方程，消去x，得到（2k2+3）y2-4ky+2-3b2=0，再利用韦达定理，求出y1，y2，再由三角形的面积公式运用基本不等式求出最大值，以及等号成立的条件，即可得到直线方程，再由y1y2，求出b2，即可求出椭圆方程．名师点评本题考点：椭圆的简单性质．考点点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去未知数，运用韦达定理，考查向量的坐标运算和基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)