已知复数z的实部和虚部都是整数，（Ⅰ）若复数z为纯虚数，且|z-1|=|-1+i|，求复数z；（Ⅱ）若复数z满足z+10z是实数，且1<z+10z≤6，求复数z．

Question

已知复数z的实部和虚部都是整数，
（Ⅰ）若复数z为纯虚数，且|z-1|=|-1+i|，求复数z；
（Ⅱ）若复数z满足z+(10)/(z)是实数，且1<z+(10)/(z)≤6，求复数z．

Answer 1

（Ⅰ）∵z为纯虚数，∴设z=ai（a∈R且a≠0），
又|-1+i|=√(2)，由|z-1|=|-1+i|，
得√(a2+1)=√(2)，解得a=±1，∴z=±i．（直接写答案z=i只给2分）…（6分）
（ II）设z=a+bi（a，b∈Z，且a²+b²≠0）．
则z+(10)/(z)=a+bi+(10)/(a+bi)=a+bi+(10(a-bi))/(a2+b2)=a+(10a)/(a2+b2)+（b-(10b)/(a2+b2)）i． …（8分）
由z+(10)/(z)是实数，且1<z+(10)/(z)≤6，∴b-(10b)/(a2+b2)=0，即b=0或a²+b²=10．…（10分）
又1<a+(10a)/(a2+b2)≤6，（*）
当b=0时，（*）化为1<a+(10)/(a)≤6无解．
当a²+b²=10时，（*）化为1<2a≤6，∴(1)/(2)<a≤3．
由a，b∈Z，知a=1，2，3．∴相应的b=±3，±√(6)（舍），±1．
因此，复数z为：1±3i或3±i．   …（14分）