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已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.(1)求证:三棱锥S-ABC为正三棱锥.(2)若二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=23,求三棱锥S-ABC的体
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已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心. (1)求证:三棱锥S-ABC为正三棱锥. (2)若二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA= 2
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答案和解析
证明:(1)如图,AH⊥面SBC,![]() 设BH交SC于E,连接AE ∵H是△SBC的垂心 ∴BE⊥SC, ∵AH⊥平面SBC,SC⊆平面SBC ∴AH⊥SC,结合BE∩AH=H ∴SC⊥平面ABE, ∵AB⊆平面ABE, ∴AB⊥SC 设S在底面ABC内的射影为O,则SO⊥平面ABC, ∵AB⊆平面ABC ∴AB⊥SO,结合SC∩SO=S ∴AB⊥平面SCO, ∵CO⊆平面SCO ∴CO⊥AB,同理BO⊥AC, 可得O是△ABC的垂心 ∵△ABC是正三角形 ∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心 ∴三棱锥S-ABC为正三棱锥.…(6分) (2)由(1)有SA=SB=SC= 2
延长CO交AB于F,连接EF ∵CF⊥AB,CF是EF在面ABC内的射影, ∴EF⊥AB, ∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角,∠EFC=30°, ∵SC⊥平面ABE,EF⊆平面ABE, ∴EF⊥SC,Rt△EFC中,∠ECF=60°, 可得Rt△SOC中,OC=SCcos60°=
SO=SCsin60°=3, ∴正三角形ABC中,AB=
S △ABC =
∴ V S-ABC =
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