如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，以O为圆心，OA长为半径的⊙O切BC于点D，且分别交AC、AB于点E、F，若AC=6，BC=63．（1）求⊙O的半径；（2）求弓形EDF的面积．

Question

如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，以O为圆心，OA长为半径的⊙O切BC于点D，且分别交AC、AB于点E、F，若AC=6，BC=6√(3)．

（1）求⊙O的半径；
（2）求弓形EDF的面积．

Answer 1

（1）连结OD，设⊙O的半径为R，如图，
∵⊙O切BC于点D，
∴OD⊥BC，
在Rt△ABC，AC=6，BC=6√(3)，
∴AB=√(AC2+BC2)=12，
∴∠B=30°，
在Rt△OBD中，OB=2OD=2R，
而AB=OA+OB=R+2R=3R，
∴3R=12，
∴R=4，
即⊙O的半径为4；
（2）连结OE，OD交EF于H，如图，
∵AF为⊙的直径，
∴∠AEF=90°，
而∠C=90°，
∴EF∥BC，
∴∠EFA=∠B=30°，OD⊥EF，
∴EH=FH，∠EOF=120°，
在Rt△OHF中，OF=4，OH=(1)/(2)OF=2，HF=√(3)OH=2√(3)，
∴EF=2HF=4√(3)，
∴弓形EDF的面积=S_扇形OEF-S_△OEF
=(120•π•42)/(360)-(1)/(2)•4√(3)•2
=(16π)/(3)-4√(3)．