已知抛物线x^2=2py[p＞0]过焦点F的动直线l交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)在A、B两点的切线相交于点Q证明点Q在抛物线准线上

Question

已知抛物线x^2=2py[p＞0]
过焦点F的动直线l交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)在A、B两点的切线相交于点Q
证明点Q在抛物线准线上

Answer 1

证明：
抛物线x^2=2py的焦点F(0,p/2),准线方程y=-p/2
设过焦点F的直线为y-p/2=k(x-0),即：y=kx+p/2
点A（x1,y1）,点B（x2,y2）,k=(y1-y2)/(x1-x2)……（1）
x^2=2py,y=x^2/(2p),y‘(x)=x/p
所以过点A的切线斜率k1=y'(x1)=x1/p,过点B的切线斜率k2=y'(x2)=x2/p
过点A的切线为：y-y1=k1(x-x1)=(x1/p)(x-x1)=x1x/p-x1^2/p=x1x/p-2y1,即：y=x1x/p-y1……（2）
过点B的切线为：y-y2=k2(x-x2)=(x2/p)(x-x2)=x2x/p-x2^2/p=x2x/p-2y2,即：y=x2x/p-y2……（3）
联立（1）至（3）式求得两切线的交点Q（x,y）坐标满足：
x=p*(y1-y2)/(x1-x2)=pk… …（4）
y=x1*pk/p-y1=kx1-y1=-p/2……（5)
所以：点Q在抛物线x^2=2py的准线y=-p/2上.