在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C（圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（π4，3π4）．（Ⅰ）求半圆C的参数方程；（Ⅱ）直线l与两坐标

Question

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C（圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（(π)/(4)，(3π)/(4)）．
（Ⅰ）求半圆C的参数方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，-2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．

Answer 1

（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得半圆C的直角坐标方程为x²+y²=2y，
即x²+（y-1）²=1（y>1），
它的参数方程是

x=cosφ

y=1+sinφ

，φ为参数且φ∈（0，π）；
（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，
则直线l的方程为y=xtanα-2，
D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．
|AB|=√(4+(4)/(tan2α))=(2)/(sinα)，
点D到直线l的距离为d=(|cos2αtanα-2-1-sin2α|)/(√(1+tan2α))
=(|cos2αsinα-3cosα-sin2αcosα|)/(√(cos2α+sin2α))=|-3cosα-sinα|=3cosα+sinα，
由△ABD的面积为4，得4=(1)/(2)d|AB|=(3cosα+sinα)/(sinα)=1+3cotα，
可得tanα=1，得α=(π)/(4)，
故点D为（0，2）．