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如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°.(1)求证:AB⊥平面EDC;(2)若P为FG上任一点,证明:EP∥平面BCD.
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如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°.
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(1)求证:AB⊥平面EDC;
(2)若P为FG上任一点,证明:EP∥平面BCD.
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(1)求证:AB⊥平面EDC;
(2)若P为FG上任一点,证明:EP∥平面BCD.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵平面ABC⊥平面ACD,∠ACD=90°,![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_03a4c206689a7faae2903681396871a9.jpg)
∴CD⊥AC,
∵平面ABC∩平面ACD=AC,CD⊂平面ACD,
∴CD⊥平面ABC,
又AB⊂平面ABC,∴CD⊥AB,
∵AC=BC,E为AB的中点,∴CE⊥AB,
又CE∩CD=C,CD⊂平面EDC,CE⊂平面EDC,
∴AB⊥平面EDC.
(2)连结EF、EG,∵E、F分别为AB、AD的中点,
∴EF∥BD,又BD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,
∴EF∥平面BCD,
同理可EG∥平面BCD,且EF∩EG=E,EF、EG⊂平面BCD,
∴平面EFG∥平面BCD,
∵P是FG上任一点,∴EP⊂平面EFG,
∴EP∥平面BCD.
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∴CD⊥AC,
∵平面ABC∩平面ACD=AC,CD⊂平面ACD,
∴CD⊥平面ABC,
又AB⊂平面ABC,∴CD⊥AB,
∵AC=BC,E为AB的中点,∴CE⊥AB,
又CE∩CD=C,CD⊂平面EDC,CE⊂平面EDC,
∴AB⊥平面EDC.
(2)连结EF、EG,∵E、F分别为AB、AD的中点,
∴EF∥BD,又BD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,
∴EF∥平面BCD,
同理可EG∥平面BCD,且EF∩EG=E,EF、EG⊂平面BCD,
∴平面EFG∥平面BCD,
∵P是FG上任一点,∴EP⊂平面EFG,
∴EP∥平面BCD.
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