如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．（1）求证：AB⊥平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．

Question

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．

（1）求证：AB⊥平面EDC；
（2）若P为FG上任一点，证明：EP∥平面BCD．

Answer 1

证明：（1）∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，
∴CD⊥AC，
∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，
∴CD⊥平面ABC，
又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，
∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，
又CE∩CD=C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，
∴AB⊥平面EDC．
（2）连结EF、EG，∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
∴EF∥平面BCD，
同理可EG∥平面BCD，且EF∩EG=E，EF、EG⊂平面BCD，
∴平面EFG∥平面BCD，
∵P是FG上任一点，∴EP⊂平面EFG，
∴EP∥平面BCD．