在三棱柱ABC-EFG中，侧棱垂直于底面，AC=3，BC=4，AB=5，AE=4，点D是AB的中点．（1）求证：AE∥平面BFGC；（2）求证：AC⊥BG；（3）求三棱锥C-DBF的体积．

Question

在三棱柱ABC-EFG中，侧棱垂直于底面，AC=3，BC=4，AB=5，AE=4，点D是AB的中点．

（1）求证：AE∥平面BFGC；     
（2）求证：AC⊥BG；    
（3）求三棱锥C-DBF的体积．

Answer 1

证明：（1）∵AE∥CG，CG⊂平面BFGC，AE⊄平面BFGC
∴AE∥平面BFGC…（3分）
（2）在直三棱柱ABC-EFG中，AC⊥CG…（4分）
∵AC²+BC²=9+16=25=AB²
∴AC⊥BC．…（5分）
又∵GC∩BC=C，GC，BC⊂面GBC
∴AC⊥面GBC．…（6分）
∵GB⊂面GBC，
∴AC⊥BG．…（7分）
（3）S△CDB＝(1)/(2)S△ABC＝(3×4)/(4)＝3…（8分）
∴VC−DBF＝VF−CDB＝(1)/(3)S△CDB•FB＝(3×4)/(3)＝4．…（10分）