如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积．

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，
∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，
∴NE∥PB，
又∵AD∥BC，∴BE∥AD，
∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，
∴BE=(1)/(2)BC=AM=2，
∴四边形ABEM是平行四边形，
∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，
∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB．
（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，
∵NF是△PAC的中位线，
∴NF∥PA，NF=(1)/(2)PA=2，
又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，
如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，
∵AM

∥

.

CG，∴四边形AGCM是平行四边形，
∴AC=MG=3，
又∵ME=3，EC=CG=2，
∴△MEG的高h=√(5)，
∴S_△BCM=(1)/(2)×BC×h=(1)/(2)×4×√(5)=2√(5)，
∴四面体N-BCM的体积V_N-BCM=(1)/(3)×S△BCM×NF=(1)/(3)×2√(5)×2=(4√(5))/(3)．