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如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△ABF、△CDE是等边三角形,CD=1,EF=12BC=1,EF∥BC,M为EF的中点.(1)证明MO⊥平面ABCD;(2)求二面角E-CD-A的余弦值;(3)求点A到平
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如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△ABF、△CDE是等边三角形,CD=1,EF=
BC=1,EF∥BC,M为EF的中点.
(1)证明MO⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-CD-A的余弦值;
(3)求点A到平面CDE的距离.
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(1)证明MO⊥平面ABCD;
(2)求二面角E-CD-A的余弦值;
(3)求点A到平面CDE的距离.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:取AB,CD的中点为P,Q.连接PQ,EQ,FP.则P,O,Q三点共线
且PQ∥BC又因为EF∥BC所以有EF∥PQ且FP=EQ.所以EFPQ为等腰梯形.
所以有MO⊥PQ,CD⊥EQ CD⊥PQ,PQ∩CQ=Q
所以CD⊥平面EFPQ
所以CD⊥MO,又CD和PQ相交,
所以有MO⊥面ABCD
(2)由(1)可知∠EQP为二面角E-CD-A的平面角
过E点作EN⊥PQ于点N,则N为OQ的中点.
cos∠EQP=
=
(3)因为AB∥平面CDE所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离.过
点P作PH⊥EQ于点H,则PH^CD,又CD交EQ于Q.所以PH⊥平面CDE.
所以PH的长为点P到平面CDE的距离.
由cosÐEQP=
得sin∠EQP=
,PH=PQsin∠EQP=
且PQ∥BC又因为EF∥BC所以有EF∥PQ且FP=EQ.所以EFPQ为等腰梯形.
所以有MO⊥PQ,CD⊥EQ CD⊥PQ,PQ∩CQ=Q
所以CD⊥平面EFPQ
所以CD⊥MO,又CD和PQ相交,
所以有MO⊥面ABCD
(2)由(1)可知∠EQP为二面角E-CD-A的平面角
过E点作EN⊥PQ于点N,则N为OQ的中点.
cos∠EQP=
NQ |
EQ |
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(3)因为AB∥平面CDE所以P点到平面CDE的距离等于A点到平面CDE的距离.过
点P作PH⊥EQ于点H,则PH^CD,又CD交EQ于Q.所以PH⊥平面CDE.
所以PH的长为点P到平面CDE的距离.
由cosÐEQP=
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