设矩阵A，B均为n阶方阵，证明：（1）矩阵AB的秩等于矩阵B的秩的充要条件方程组ABx=0和Bx=0同解；（2）秩An=秩An+1．

Question

设矩阵A，B均为n阶方阵，证明：
（1）矩阵AB的秩等于矩阵B的秩的充要条件方程组ABx=0和Bx=0同解；
（2）秩Aⁿ=秩Aⁿ⁺¹．

Answer 1

证明：（1）设R（AB）=r，则线性方程组ABX=0的基础解系中含有n-r个解向量，
又线性方程组ABX=0与BX=0同解，
所以线性方程组BX=0的基础解系中也含有n-r个解向量，
所以R（B）=n-（n-r）=r 即R（AB）=R（B）
反之，若R（AB）=R（B），则线性方程组ABX=0与BX=0的基础解系中所含解向量的个数相同
又显然BX=0的所有解都是ABX=0的解，
所以BX=0的一个基础解系也是ABX=0的基础解系
故线性方程组ABX=0与BX=0同解．
（2）只证AⁿX=0与Aⁿ⁺¹X=0是同解的
一方面，AⁿX=0的解显然是Aⁿ⁺¹X=0的解；
另一方面，假设α是Aⁿ⁺¹X=0的解，但不是AⁿX=0的解，即Aⁿα≠0的解
则设kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0
等式两端同时乘以Aⁿ，得
kAnα+k1An+1α+…+knA2nα=0
由于Aⁿ⁺¹α=Aⁿ⁺²α=A²ⁿα=0，因此kAⁿα=0
从而k=0
故k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0
在等式两端同乘以A^n-1，又可以得到k₁=0
依此下去，得到k=k₁=…=k_n
这样，α，Aα，…，Aⁿα这n+1个向量是线性无关的
这与n+1个向量必线性相关矛盾
故Aⁿα=0
即Aⁿ⁺¹X=0的解也是AⁿX=0的解
由（1）的结论，知秩Aⁿ=秩Aⁿ⁺¹．