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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD.(1)求该抛物线的解析式;(2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线
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如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax 2 +bx+c交y轴于点C(0,4),对称轴x=2与x轴交于点D,顶点为M,且DM=OC+OD. ![]() (1)求该抛物线的解析式; (2)设点P(x,y)是第一象限内该抛物线上的一个动点,△PCD的面积为S,求S关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)在(2)的条件下,若经过点P的直线PE与y轴交于点E,是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等?若存在,请求出直线PE的解析式;若不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意得:OC=4,OD=2,∴DM=OC+OD=6。 ∴顶点M坐标为(2,6)。 设抛物线解析式为:y=a(x﹣2) 2 +6, ∵点C(0,4)在抛物线上,∴4=4a+6,解得a= ![]() ∴抛物线的解析式为:y= ![]() ![]() (2)如答图1,过点P作PE⊥x轴于点E. ![]() ∵P(x,y),且点P在第一象限,∴PE=y,OE=x。 ∴DE=OE﹣OD=x﹣2. ∴S=S 梯形PEOC ﹣S △ COD ﹣S △ PDE = ![]() ![]() ![]() 将y= ![]() ![]() ![]() 在抛物线解析式y= ![]() ![]() ![]() 设抛物线与x轴交于点A、B,则B(2+ ![]() ∴0<x<2+ ![]() ∴S关于x的函数关系式为:S= ![]() ![]() (3)存在。若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等,可能有以下情形: ①OD=OP。 由图象可知,OP最小值为4,即OP≠OD,故此种情形不存在。 ②OD=OE。 若点E在y轴正半轴上,如答图2所示,此时△OPD≌△OPE。 ![]() ∴∠OPD=∠OPE,即点P在第一象限的角平分线上。 ∴直线PE的解析式为:y=x。 若点E在y轴负半轴上,易知此种情形下,两个三角形不可能全等,故不存在。 ③OD=PE。 ∵OD=2,∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2。 ∴点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合。 若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧,易知△OPE为钝角三角形,而△OPD为锐角三角形,则不可能全等。 若点P与点M重合,如答图3所示,此时△OPD≌OPE,四边形PDOE为矩形。 ![]() ∴直线PE的解析式为:y=6。 综上所述,存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等,直线PE的解析式为y=x或y=6。 |
试题分析:(1)首先求出点M的坐标,然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。 (2)如答图1所示,作辅助线构造梯形,利用S=S 梯形PEOC ﹣S △ COD ﹣S △ PDE 求出S关于x的表达式;求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标,得到自变量的取值范围。 (3)由于三角形的各边,只有OD=2是确定长度的,因此可以以OD为基准进行分类讨论: ①OD=OP,因为第一象限内点P到原点的距离均大于4,因此OP≠OD,此种情形排除。 ②OD=OE.分析可知,只有如答图2所示的情形成立。 ③OD=PE.分析可知,只有如答图3所示的情形成立。 |
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