证明：f（x）=∞n=1n-x在开区间（1，+∞）内连续，且有连续导数．

Question

证明：f（x）=

∞

n=1

n^-x在开区间（1，+∞）内连续，且有连续导数．

Answer 1

证明：由于p-级数

∞

n=1

(1)/(np)，在p>1时收敛，因此

∞

n=1

n^-x在x∈（1，+∞）时收敛
∴由和函数的性质，知
f（x）=

∞

n=1

n^-x在开区间（1，+∞）内连续，且逐项可导
∴f′（x）=-

∞

n=1

n-xlnn，x∈（1，+∞）
即f（x）=

∞

n=1

n^-x在开区间（1，+∞）内连续，且有连续导数