设函数f（x）=ax2-a-lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，xf（x）+xe1-x>1恒成立，求a的取值范围．（其中，e=2.718…为自然对数的底数）．

Question

设函数f（x）=ax²-a-lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，xf（x）+xe^1-x>1恒成立，求a的取值范围．（其中，e=2.718…为自然对数的底数）．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，f′（x）=2ax-(1)/(x)=(2ax2-1)/(x)，x>0，
①当a≤0时，2ax²-1≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减．
②当a>0时，f′（x）=(2a(x+(1)/(2a))(x-(1)/(2a)))/(x)，当x∈（0，(1)/(2a)）时，f′（x）<0，
当x∈（(1)/(2a)，+∞）时，f′（x）>0，
故f（x）在（0，(1)/(2a)）上单调递减，在（(1)/(2a)，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）原不等式等价于f（x）-(1)/(x)+e^1-x>0在x∈（1．+∞）上恒成立，
一方面，令g（x）=f（x）-(1)/(x)+e^1-x=ax²-lnx-(1)/(x)+e^1-x-a，
只需g（x）在x∈（1．+∞）上恒大于0即可，
又∵g（1）=0，故g′（x）在x=1处必大于等于0．
令F（x）=g′（x）=2ax-(1)/(x)+(1)/(x2)-e^1-x，g′（1）≥0，可得a≥(1)/(2)，
另一方面，当a≥(1)/(2)时，F′（x）=2a+(1)/(x2)-(2)/(x3)+e^1-x≥1+(1)/(x2)-(2)/(x3)+e^1-x=(x3+x-2)/(x3)+e^1-x，
∵x∈（1，+∞），故x³+x-2>0，又e^1-x>0，故F′（x）在a≥(1)/(2)时恒大于0．
∴当a≥(1)/(2)时，F（x）在x∈（1，+∞）单调递增．
∴F（x）>F（1）=2a-1≥0，故g（x）也在x∈（1，+∞）单调递增．
∴g（x）>g（1）=0，即g（x）在x∈（1，+∞）上恒大于0．
综上，a≥(1)/(2)．