初三直角三角形已知矩形ABCD,P为矩形所在平面内的任意一点,求证：PA^2+PC^2=PB^2+PD^2(提示：应分三种情况加以讨论,P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外、均有这个结论）请写出完整过程，谢谢

Question

初三 直角三角形
已知矩形ABCD,P为矩形所在平面内的任意一点,求证：PA^2+PC^2=PB^2+PD^2
(提示：应分三种情况加以讨论,P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外、均有这个结论）
请写出完整过程，谢谢，可加分

Answer 1

点p在矩形内：
已知四边形ABCD为矩形,点p在矩形ABCD内
且要使PA+PC=PB+PD
所以点P在矩形对角线交点上
AC=PA+PC,BD=PB+PD,AC=BD(矩形对角线相等）
所以AC方=BD方,PA方+PC方=PB方+PD方
点p在矩形上：
当P在矩形上且在BC中点上
所以PB=PC,PA=PD(矩形定理)
所以PB方=PC方,PA方=PD方
所以PA方+PC方=PB方+PD方
点P在矩形外：
当P点在矩形外,且PA=PD
所以PD=PC
因此PA方+PC方=PB方+PD方