在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边a，b，c且a2+b2-2ab=c2，tanA-tanB=csc2A①求证：2A-B=π2；②求三角形ABC三个角的大小．

Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C对边a，b，c且a²+b²-√(2)ab=c²，tanA-tanB=csc2A
①求证：2A-B=(π)/(2)；
②求三角形ABC三个角的大小．

Answer 1

（1）∵tanA-tanB=csc2A，即(sinA)/(cosA)−(sinB)/(cosB)＝(1)/(sin2A)
∴(2sin2A−1)/(2sinAcosA)＝(sinB)/(cosB)，可得−(cos2A)/(sin2A)＝(cos((π)/(2)−B))/(sin((π)/(2)−B))
即-tan2A=tan（(π)/(2)−B），得tan（-2A）=tan（(π)/(2)−B），
∵A、B∈（0，(π)/(2)），∴-2A+π=(π)/(2)−B，解之得2A-B=(π)/(2)；
（2）∵a²+b²-√(2)ab=c²，
∴根据余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得cosC=(√(2))/(2)
结合C∈（0，(π)/(2)），得C=(π)/(4)
由三角形内角和定理，得A+B=(3π)/(4)
根据（1）2A-B=(π)/(2)，联解得A=(5π)/(12)，B=(π)/(3)
综上所述，三角形ABC三个角的大小分别为A=(5π)/(12)，B=(π)/(3)，C=(π)/(4)．