如图．P是等边△ABC边AB上任一点，AB=2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FM⊥AB于M，设BP=x（x＞0）．（1）用含x的代数式表示AM；（2）当x等于多少时，点P和点M重合？

Question

如图．P是等边△ABC边AB上任一点，AB=2，PE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FM⊥AB于M，设BP=x（x＞0）．

（1）用含x的代数式表示AM；
（2）当x等于多少时，点P和点M重合？

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠B=∠C=∠A=60°，
∵PE⊥BC，EF⊥AC，FM⊥AB，
∴∠PEB=∠EFC=∠FMA=90°，
∴由三角形内角和定理得：∠BPE=∠FEC=∠AFM=30°，
∵BE=(1)/(2)BP，CF=(1)/(2)CE，AM=(1)/(2)AF，
∵BP=x，AB=BC=AC=2，
∴BE=(1)/(2)x，CE=2-(1)/(2)x，CF=(1)/(2)CE=1-(1)/(4)x，AF=2-CF=2-（1-(1)/(4)x）=1+(1)/(4)x，
∴AM=(1)/(2)AF=(1)/(2)+(1)/(8)x．
（2）当P和M重合时，AM+PB=AB=2，
即x+(1)/(2)+(1)/(8)x=2，
x=(4)/(3)，
即当x=(4)/(3)时，点P和点M重合．