已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-2an-34，n∈N+（1）证明：{an-1}是等比数列；（2）求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn+1＞Sn成立的最小正整数n．

Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-2a_n-34，n∈N⁺
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

Answer 1

（1）证明：当n≥2时，S_n-1=（n-1）-2a_n-1-34，
∴a_n=S_n-S_n-1=1-2a_n+2a_n-1，
∴3a_n=2a_n-1+1，即a_n-1=(2)/(3)(an-1-1)，
又当n=1时，a₁=S₁=1-2a₁-34，解得a₁=-11，则a₁-1=-12．
∴{a_n-1}是首项为-12，公比为(2)/(3)的等比数列；
（2）由（1）可得a_n-1=-12•((2)/(3))n-1，则a_n=1-12•((2)/(3))n-1，
∴Sn=n-2[1-12•((2)/(3))n-1]-34=n+24•((2)/(3))n-1-36，
由S_n+1＞S_n得S_n+1-S_n＞0，即[（n+1）+24•((2)/(3))n-36]-[n+24•((2)/(3))n-1-36]＞0，
化简得8•((2)/(3))n-1＜1，解得n＞1+log(2)/(3)(1)/(8)≈6.13，
所以使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n=7．